小学数学教师培养学生数学思维的教学准备

“小学数学课堂教学要培养学生的数学思维”，毫无疑问，应该是小学数学教育的应有之义，也应是小学数学课堂教学的应然追求。那么，什么是数学思维呢？小学数学教师又需要做好哪些功课或准备工作呢？

思维指的是“人们的理性认识活动”。思维“作为对客观存在、物质及其规律性的反映”，它是“以概念、判断、推理、假说和理论等形式，反映客观世界的能动的过程”。因此，从哲学认识论的视角来看，数学思维应该是指，人们借助数学概念、判断或命题、推理、假说和理论等形式，对客观世界的量（包括数与形两个层面）的这一侧面及其规律性的理性的和能动的认识过程与活动。

鉴于数学思维对象的“客观世界的量”这一独特性，数学思维具有抽象性、建构性和过程的二重性，以及结果的双重性。具体而言，其思维的抽象性是指，数学思维之抽象的间接性、结果的多样性和某种程度上的“任意性”（思想的自由创造）；其思维的建构性是指，相较于“客观世界的量”而言，数学思维之对象的“思想建构”（数学的对象是思想事物）或“形式建构”（数学的对象也是形式符号）；其思维过程的二重性是指，就实际发生的数学思维活动而言，不仅存在着由“非形式”到“形式”的过渡（抽象或概括）过程，同时也存在着由“形式”到“非形式”的“具体化”（表象和直觉）过程；其思维结果的双重性是指，不论是数学的陈述性知识还是数学的程序性知识，其实质上都包含着对象和过程这两个层面。

由此可见，“小学数学课堂教学要培养学生的数学思维”这一应然追求并非易事。因此，小学数学教师要想在课堂教学中真正培养学生的数学思维，而不是仅仅传授数学知识与技巧，就应该至少要做好以下几项功课或准备工作，其中深刻领会“数学课标”中的课程目标，应该是开展“小学数学课堂教学要培养学生的数学思维”活动的首要任务。

《义务教育数学课程标准（年版）》明确指出，数学课程的总目标是，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度”。而且还从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等四个方面给予了具体阐述。

其实，上述总目标和具体阐述可以概括为“四基”“四能”和“必备品格”（或情感态度），而其中的数学思考和问题解决则是其核心。因为，如果没有这贯穿“数学的过程与方法”始终的数学思考和问题解决，那么，所谓的“四基”就是僵硬的死知识，“四能”就是某些程序的机械模仿甚至机械套用，而所谓的情感态度或“必备品格”则必定是虚假的替代表演。而数学思考和问题解决的核心就是上述所明确的数学思维，即借助数学概念、判断或命题、推理、假说和理论等形式，对客观世界的量（包括数与形两个层面）的这一侧面及其规律性的理性的和能动的认识过程与活动。

因此，深刻领会“数学课标”中的课程目标，即数学课程的育人价值，就其实质而言，就是培养学生的数学思维，是“小学数学课堂教学培养学生数学思维”的极其必要的前提条件，也是极其重要的“政策”依据或保障。而培养学生的数学思维则是培养或提升其数学核心素养的必由之路。所以，努力提炼教材内容所蕴含的数学思维，应该是开展“小学数学课堂教学培养学生数学思维”活动的核心任务。

小学数学教材内容主要包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等内容。而“数与代数”的整合，不仅是算术知识和代数知识的简单合并，更是算术思维和代数思维的有机融合。

算术思维的核心是程序或步骤及其遵守或运用，其思维目的是求得一个结果（数字），所以它是程序思维；而代数思维的核心则是关系及其转换，其思维目的是寻求各种数量关系之间的转变或转化，所以它是关系思维。但是，由于关系思维比程序思维对学生心智发展的成熟水平要求要高许多，所以直接在小学引入甚至渗透大量的代数内容可能是不可取的，也是行不通的。因此，可行的渗透方式应该是能够兼顾算术的程序思维和代数的关系思维的综合方式，而“准变量思维”的引入便是这种渗透方式。

所谓准变量思维，其实质就是把“常数”视为“变量”，进而把数量关系视为是变量之间的关系，并以此来引导学生“在算术中学习代数”（也在代数中运用算术）。因为，代数就是字母（变量）的算术，而算术则是数字（常量）的代数。譬如，21-9=21-10+1（=11+1=12）就蕴含着这样一个代数恒等式：a-b=a-（b+1）+1，而前者则可看作是后者的一个特例。其实，小学数学中存在着大量的准变量及其思维。譬如，各种竖式计算的横式改写就是例证，如32×13=32×3+32×10（=96+=），而32×3=2×3+30×3（=6+90=96），它们都是运用运算律的恒等变换。因此，准变量思维的引入可望打通算术学习和代数学习之间的障碍。

“图形与几何”的整合，不仅是立体几何和平面几何的简单联手，更是综合几何（强调几何直观）和分析几何（强调几何推理）的相互渗透。

譬如，“图形认识”一般包含直观认识概念、定义、构成要素、特点、关系等五个维度。但是，小学阶段的图形认识的教学实践却主要集中于前三个维度，却较少涉及后两个维度。其实，关于“图形认识”的前三维度（几何直观为主）的教学也可渗透后两个维度的几何推理。譬如，关于“多边形内角和的命题”的学习，就可以引导学生依据“三角形内角和等于°”来进行推导（多边形划归为三角形的方式多种多样）；“三角形的任意两边之和大于第三边”的推导则可以引导学生通过运用“两点间的距离线段最短”这一公理来学习；而“正方形是特殊的长方形”的学习，如果不通过“长方形的一般定义”和“正方形的定义”之间的逻辑关系来学习，将是无法理解的。

“统计与概率”的整合，不仅是统计过程（强调统计方法与技巧）与可能性（强调随机观念）的简单嫁接，而是内蕴随机观念的统计活动。因此，统计思维的培养就应该依据统计活动的过程结构（参见图1）来谋划、设计和开展，不能“掐两头、烧中段”。

但是，现实的小学数学“统计与概率”的教学多是只