一道证明了年的数学猜想从费马猜想到

从费马猜想到费马大定理

皮埃尔·德·费马（PierredeFermat）年8月20日生于法国的博蒙，是17世纪法国的一名全职律师，但同时也是一位才华出众的业余数学家，被史学家称为“业余数学家之王”。费马虽然是业余数学家，但他比同时代的大多数专业数学家更有成就。他利用一切可能的业余时间，凭着对数学的执着和热爱，在数学领域做出了很多开创性的贡献。

大约在年左右，费马在阅读丢番图（Diophantus）的《算术》时，受勾股定理的影响，曾在第11卷第8命题旁写道：

“将一个立方数分成两个立方数之和（即

，x、y、z是整数），或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，（即

）这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

大约30年后，也就是年1月12日，费马与世长辞。费马的长子塞缪尔花了五年的时间整理父亲的文稿并出版，费马的很多猜想（命题）才得以面世，由于费马没有写下证明，上面的命题就成了当时最著名的“费马猜想”。

其命题可概括如下：

当n2是整数，则方程

没有满足x、y、z≠0的整数解。

费马猜想提出后，引起了人们极大的兴趣，很多数学家纷纷投入到猜想的证明中，但是却一无所获。大约年后，也就是年，瑞士著名的大数学家欧拉，在给德国数学家哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，并于年将其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”，这一方法也被后人多次引用。大数学家欧拉也只是证明了n=3的情况，对于任意的正整数n还是没有突破。

年，巴黎科学院把费马猜想转化归结为n是奇素数的情况，并认为费马猜想应该成立，并称其为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），同时为证明者设立大奖和奖章，从此费马大定理之谜在一百多年后进一步风靡全球。

随着几个世纪的时光流逝，费马的其他命题一一被证明，而费马大定理却仍然没有得到证明，因此费马大定理也被称为“费马最后定理”。由于三百多年的努力，仍未能找到一个证明，这使得费马大定理更加声名远扬。

年，格丁根皇家科学协会为“费马大定理”专门设置了“沃尔夫斯凯尔奖”，即凡在年9月13日前（也就是年以内）解决费马大定理者将获得000马克的奖励。

提供该奖项的沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误，让他情不自禁地计算到天明，设定的自杀时间过了，他也放不下问题的证明，因此取消了自杀。数学让他重生，而后来又成为大富豪。年这位富豪临死时，留下遗嘱将其一半遗产捐赠设奖，以谢“费马大定理”救命之恩。从此世界每年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构，还不得不预写证明否定书。

时光流到了年，在费马猜想被提出年后，“沃尔夫斯凯尔奖”设置87年后，最终被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

年，安德鲁·怀尔斯把证明发表在《数学年刊》（AnnalsofMathematics）第卷上，证明的书面表达占满了全卷，共五章，页，题目为《模形椭圆曲线和费马大定理(ModularellipticcurvesandFermat’sLastTheorem)》。

安德鲁·怀尔斯（AndrewWiles），英国著名数学家、牛津大学教授、美国科学院外籍院士。现在任教于英国牛津大学。年，英国数学家安德鲁·怀尔斯在前人研究成果的基础上，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间，把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法进行“排队”。

年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理被证明之后，世界媒体铺天盖地般报道了该喜讯。但是，很快人们发现证明不完善，还是有漏洞。怀尔斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒又用了近一年的时间修补了这个漏洞，从而最终证明了费马大定理。

费马大定理的证明，也使得怀尔斯最终从一个默默无闻的数学教授，一跃成为了世界知名的数学家。

年3月，怀尔斯获得沃尔夫奖(WolfPrize)和5万美金；

年6月，怀尔斯当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖；

年6月27日，怀尔斯获得“沃尔夫斯凯尔”10万马克的悬赏大奖，就在格丁根皇家科学协会规定期限只剩下10余年的时候，沃尔夫斯凯尔当年的遗愿终于得以实现。

年第23届国际数学家大会在柏林举行，国际数学联合会还史无前例地颁给怀尔斯“菲尔兹”特别奖（数学界的“诺贝尔奖”），并专门为怀尔斯制作了一个特殊的菲尔兹银质奖章。

年，怀尔斯又荣获了有“东方诺贝尔奖”之称的邵逸夫数学科学奖(ShawPrize)，奖金万美金。

年8月29日，安德鲁·怀尔斯第一次踏上中国的土地，这甚至是他第一次来到亚洲。8月30日怀尔斯在北京大学做了演讲，他说“不是我选择费马大定理，而是费马大定理选择了我！”

证明费马大定理的过程是一部数学史。费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个多世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷，数学家们说：“这是20世纪最辉煌的数学成就”。

“费马大定理”虽然没有被费马本人证明，而他的提出及其一系列的猜想就已经对数学做出了重大贡献，也因此激发了许多数学家对这些猜想的兴趣与研究，数学家们的有关与此的工作丰富了数论的内容，也推动了数论的发展。

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在数学上的造诣奠定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这不仅仅归于他的数学天赋，与他的博学多才善于钻研也是有关系的。在整个17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。

费马对数学的贡献是巨大的，也是无与伦比的。

首先，费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。并于年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。费马的工作是开创性的，《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比勒奈·笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。同时费马也谈到了他的空间解析几何思想，他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。

其次是对微积分的贡献。16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分地起源之一。费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分的方法，对微积分的建立做出了重大贡献。

第三，对概率论的贡献。早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家与数学家的兴趣和争论。17世纪，法国的帕斯卡和费马建立了概率学的基础。费马此时还没有使用概率一词，但他却为概率的数学模型奠定了基础，建立了概率论的基本原则——数学期望的概念，这是费马的主要贡献。

第四，对数论的贡献。费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：

费马大定理：n2是整数，则方程

没有满足x、y、z≠0的整数解。这是个不定方程，证明的过程是相当艰深，它已经由英国数学家怀尔斯年给出了证明，

费马小定理：若p是一个素数，a是正整数且a,p互质。则

≡0(modp)。即能被p整除。

如

，能被5整除，

能被7整除等。

费马素数分类定理：全部大于2的素数可分为4n+1和4n+3两种形式（n是非负整数），且形如4n+1的素数，能够而且只能够以一种方式表为两个平方数之和，没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。

如：4n+1的素数有：5，13，17，29，37，41，……，且

而形如4n+3的素数：3，7，11，19，23，……，就不能表示为两个平方数之和。

费马亲和数：和。

人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”：“如果两个数a和b，a的所有除本身以外的因数之和等于b，b的所有除本身以外的因数之和等于a，则称a,b是一对亲和数。”在遥远的古代，人们就发现了第一对亲和数：和。

如的因数有（除去本身）：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，，而它们的和恰好是。而的因数有（除去本身）：1，2，4，71，，它们的和恰好是。

常言道，知音难觅，寻找亲和数更使数学家绞尽了脑汁。亲和数是数论王国中的一朵小花，距离第一对亲和数诞生多年以后，历史的车轮转到了十七世纪，年，费马找到了第二对亲和数和，又重新点燃了寻找亲和数的火炬，是人们在黑暗中看到了光明。两年之后，法国数学家笛卡儿于年也宣布找到了第三对亲和数和9364。费马和笛卡儿在两年的时间里，打破了两千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。

费马素数：

对于任意非负整数n,由下式定义的数

称为费马数（因为费马最早研究了这类数），前五个费马数是：

容易验证，它们全都是素数，由此费马猜想，对于所有非负整数n,Fn都是素数。因为在Fn的表达式中，n是指数的指数，Fn随着n极快地增大，当n=5时，它就已经是一个十位数了，在没有计算器和电脑的时代，单靠手算要验证它是不是一个素数是一件十分辛苦的事情，费马于是就轻率地相信了他的直觉，并未加以检验。可惜这一次费马猜错了，年，在费马提出这一猜想的近百年后，大数学家欧拉首先证明了F5不是素数，后来，人们又陆续找到了更多不是素数的费马数。相反，费马素数的数量却仍然只有上面这五个。于是人们又反过来猜测，除了这五个费马数是素数，其余的费马数全都是合数（但至今未能证明这个猜想）。

虽然只有五个费马素数，却解决了尺规做正多边形的问题。

用尺规作正偶边形如4，6，8，10，12等正多边形并非难事，但做正14边形、18边形就比较困难。对于正奇边形如7，9，11，13，15，17等的作图，在当时更是件困难的事，而且并非全都可以用尺规作图。

这个问题在经过漫长的两千年后，才最终被天才的高斯在24岁时完全解决。年，德国数学家高斯只有19岁，在读大学二年级时就给出了正十七边形的尺规作图法的依据，并且在24岁时还给出了可用尺规作图的正多边形的条件：“能用尺规作出的正多边形，其边数目必须是2的非负整数次幂和不同的费马素数的积”，这才解决了两千年来悬而未决的难题。

费马点：“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点。

也就是说，给定任意一个三角形△ABC，则存在一点P，使P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起来都要小。这个点P就称为三角形的费马点。而且这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

下面分两种情况来讨论费马点的位置。

1、若三角形3个内角均小于°。此时3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

对于每一个角都小于°的三角形ABC，以每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。则这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的费马点。

2、若三角形有一内角大于等于°，则此钝角的顶点就是距离和最小的费马点。

此外，费马对物理学尤其是光学也有重要的贡献。

如“费马原理”就是几何光学中的一条重要原理。由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，必沿所需时间最短的路径传播。

费马虽然是业余数学家，但它是解析几何的发明者之一；对于微积分的诞生，他的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨；他又是概率论的主要创始人，又是独掌17世纪数论天地的人。一代数学天才费马，堪称是17世纪法国乃至世界上最伟大的数学家之一。