通向时间的源初

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中秋和国庆节碰巧安排在了一起，是过去的历法决定了现在的巧合吗？我想应该是的，人作为观测者，是否会对时间的源初与未来产生兴趣呢？当你仰望星空的时候，或许就会感慨浩瀚的时间车轮（时间之矢）一直滚滚向前，不带着一丝情感，挟裹着所有，奔流到不确定性的未来。今天写的这篇推文，起源来自诺兰前段时间的电影——《信条》，当然我今天并不是要探讨他所搭建的逆熵世界如何如何，还有什么弱化版祖父悖论啥的，因为这都不是问题的核心，只是在边界疯狂试探。姑且借用开头的那句问话：自由意志怎么办？诸位看官，如果你愿意来一场头脑风暴的话，就找一个能集中思考的地方读吧。（但是我并不能保证我接下来述说的文字足够真理或是正确，但是我仍要说，因为~“发现自己不知道的事情才是智慧”——苏格拉底）

假期结束前的两天，我看完了普里高津的《确定论的终结》，万幸的是，读研期间（别告诉我导师哈，各位大佬）偷偷摸摸去学习了分析力学和混沌数学，再加上本身热工分析出身的我，就是这么巧合地阅读完了，虽不说完全理解，但是足够我整理一下自己以前的思考了。好了，正文开始。

一、问题的引出

爱因斯坦说过：“对我们这些有坚定信念的物理学家来说，过去、现在和未来的区分是一种错觉，尽管这是一种持久的错觉。”之所以要用这句话开头，是因为牛顿推广的经典力学和哥本哈根派引领的量子力学，这些构成我们现代社会的理论基石，它们是确定的，是不完备的，是推广不能逻辑自洽的。为什么？因为时间。

我们来看经典力学：

看到了吗？对于经典力学来说，如果我把t换成-t，那么我就能完全掌控该物体或是系统的从过去到未来的位置、速度、加速度信息也即：运动状态完全确定。再来看量子力学：我们都知道量子力学中最经典的描述量子运动特征的就是波函数。它是一种类似于经典力学轨道的思想，将量子的概率幅用一种类轨道的方式表现出来，可以借此回溯过去预测未来，时间t在波函数中y依旧具有对称性，是可逆的。除开因为概率幅的矛盾之外，还有一个更深刻的矛盾，那就是波函数的坍缩。由于量子的不确定性，波函数预测的是量子出现的概率，也就是说波函数本身代表的一种“不确定性”。而当量子相互作用，波函数ψ1与波函数ψ2开始叠加的时候，我们预期得到一个新的波函数ψ，这种相互作用的叠加在量子的世界不断的出现，我们始终应该预期得出的还是波函数，那么问题来了：是从什么时候开始由波函数中所描述的不确定性转向了我们可以测量的确定性的呢？其实这就是著名的“量子佯谬”。在构建量子力学物理大厦的时候，其本身是满足确定性时间可逆性的，但是为了引入概率和不可逆性，需要一个观测者，观测就带来了涨落、不稳定性、多种选择，但是这仅仅是有限的。因为人并不是完善的观测者。哪怕是仪表观测，那也是需要附带上诸多限制条件。有些事情只有在作出观测之后才会发生，但是实际上，多次观测的间隙，并没有任何事情，相反，我们会发现纸张依旧会老化发黄（衰老问题后续段落我会再次提及）这会我想起了伊壁鸠鲁的那个二难问题：在一个确定性的原子世界里面，我们人的自由意志究竟有着什么意义？通俗一点讲：我们现在所做的决定是过去种种复杂确定叠加耦合之后的结果所导致的，还是说这是我们以为我们拥有自由意志，但是在外部更高维的某处具有高等智慧的生物观测我们坍缩而成的自由意志呢？（或许在他们看来我们的想法就是十分可笑的。万能的拉普拉斯妖啊、麦克斯韦妖啊，恶灵退散~~~）转成现代的版本就是：如何在不破坏人类思想的惊人成就（量子力学与经典力学）下，引入单向的时间之矢？要回答这个问题，我们就得谈到《信条》的核心——熵（电影其实对这个概念处理地很粗暴）二、熵到底意味着什么？从组成来讲，熵其实就是一种无序混乱度的量度，即：右式的第一项代表跨越系统边界的熵，第二项为系统自身产生的熵（始终≥0）。根据克劳修斯提出的热力学第二定律的经典表述，这基于一个不等式：dS≥0。无论边界条件如何，熵产生的diS总是≥0的，即不可逆过程产生熵。薛定谔在他的《生命是什么》中用熵产生和熵流讨论了生命的新陈代谢，他认为，如果有机体处于定态，那么它的熵随时间保持不变，dS=0，deS+diS=0，即deS是小于零的，于是他断言，生命是以负熵流为食。但是更为重要的是，生命与熵产生联系，从而与不可逆性产生联系。如果你有了解过热力学或者大学物理的话，应该知道玻尔兹曼，他将熵的计算进行了定量化，引入了玻尔兹曼常数，这里我就不写公式，因为那个是妥协的，不自洽的。玻尔兹曼更多地将熵变描述放在了平衡态或者说是近平衡态，这其中也包括我们熟知的吉布斯（自由能的提出，吉布斯自由能同样是基于无限平衡态）。但是在远离平衡系统的地方呢（惊人的BZ振荡反应，感兴趣的可以去搜这个化学实验），自由能或者说熵变所产生的函数，并不能用上述理论得出，即：上述理论存在较大的局限性，或者说是它本身就是理想化的产物。在这里，普里高津将平衡态看作非定域情况下的特殊解，选择去拥抱不确定性，同时也将宏微观的说法改成了统计层面和轨道层面（可以参考量子力学中，轨道和统计的概念）。他认为：轨道层面来说，系统是可逆的，熵变是可以量化的，但是是系统的特解，而统计层面则会产生不可逆性（即时间之矢），至于为什么会产生不可逆性，这里就需要谈到庞加莱的混沌数学研究了。三、伯努利映射与面包师映射伯努利映射：伯努利是最简单的混沌映射，如果在线段上选取一个点，那么这个点在反复映射后的数轴落点坐标分别为：、、、……、，也就是说被唯一确定，被唯一确定，被唯一确定，每一个的值的变化都会受到它前一步的的值的影响。由于映射的随机性，即两种映射随着抻面的过程随机进行，就会使点的位置变化有着极大的不确定性，但幸运的是，这种不确定性可以通过二进制解决和表达。解决思路主要是将中相对于的小数点后一位的数字变成零，然后将小数点向右移动一位，这种映射因此被称为移位映射。面包师映射：所谓面包师变换，是受厨师揉面团的操作过程的启发而进行数学抽象出来的。第一种操作是拉伸变换；第二种变换为折叠变换。设面团最初为一单位正方形a，使面团在一个方向压扁成长方形b，然后拉长了的面团两端对齐折叠（或从中间切开后叠置）起来，成为一个新的正方形c，其中阴影区和非阴影区被分成四个隔开的区域，而不是a中所示的两个隔开的区域。假定在操作过程开始前，面包师先在面团上滴一滴红着色剂，那么，在揉面团过程中液滴同时被拉长、变薄，再折叠起来。随着面包师的操作不断重复进行，夜滴被不断伸缩和折叠。经过足够长时间反复操作，就会发现面团中很多红色和白色交替出现的层次，原来相邻的两个着色剂微粒越来越相互分离，原来不相邻的两个微粒可能越来越靠丘。据估计，这样反复操作只需进行20次，最初的着色剂滴长度就会被拉长到万倍以上，其厚度则减小到分子水平。这是着色剂与面粉已经充分混合均匀了。从上面的分析可见，相较于单纯的伯努利映射，用面包师变换来比拟动力学系统相空间的状态变化过程还是很贴切的。而且很容易想象混沌轨道几何图像的复杂性是如何形成的了。伸缩变化使相邻状态不断分离，这是造成轨道发散所必须的内部作用。实际上系统不允许无限延伸，而被限制在有限区域之内。因此，系统本身还须有折叠变换机制。折叠是一种最强烈的非线性作用，能造成许多奇异特性。仅有伸缩还不足以造成复杂性，不足以搅乱空间轨道，只有伸缩与折叠同时进行，并且不断反复，才可能产生轨道的指数分离、汇聚，形成对初始条件的敏感依赖性、像揉面团那样有限次的伸缩和折叠变换是不够的。在系统周期内，有限次变换后，系统就进入稳定的周期态，以确定的方式运行。而在混沌区内，伸缩和折叠变换永不停止，而且以不同的方式进行，永不重复。其结果必然造成轨道永无休止地时而分离，时而聚汇，盘旋缠绕，但并不自交。于是，轨道被搅乱了，指数分离和敏感依赖性产生了。这种操作的每一步都是确定的、可预言的，但反复不断进行下去，长期行为却变得不确定、不可预测了。（其实这里就已经能够融合轨道表述和统计表述了）这里我再插一句嘴：后续描述我会将映射算符化，说白了就是一种关系，这里将上述伯努利映射和面包师变换统一换成佩龙-弗罗贝尼乌斯算符（迷惑的大佬可以简单化即可，不影响我主线描述）四、放弃希尔伯特空间经过混沌的洗礼之后，普里高津认为在佩龙-弗罗贝尼乌斯算符作用下，除了能允许轨道自洽外，还能适用于统计层面上轨道的新解，即它是存在时间不可逆性的，不过也有局限，需要分布函数足够光滑。从欧几里得空间转向黎曼空间转向希尔伯特空间我们都迈出了极大的勇气，那么放弃希尔伯特空间又会有什么突破呢？答案是放弃之后，对于非定域的函数求解，会出现除开本征值和本征函数之外的奇异函数（一簇类伯努利多项式的多项式）——在算符的作用下，出现了不可约谱表示。在希尔伯特空间中，对于状态1和状态2的叠加，其顺序前后并没有任何区别，即在轨道层面，不存在不可逆性。但是实际上我们在统计层面却发现，从状态1到状态2，伯努利映射是存在衰减的，衰减幅度为e^[-n(mln2)]，简单点说，就是未来是在衰减的，过去是在发散的（李雅普诺夫指数为正）。那么我们要怎么做，放弃希尔伯特空间，重新审视我们的非定域方程以及理想化的确定过程关系。五、哈密顿力学与庞加莱共振在更高一个层面去看我们的力学定理，其实只需要确定动量和势能即可，也就是哈密顿量（注：动能是动量的一部分，其本身包含了非定域解，五关坐标，是一种广义的奇异变换）这里，我将哈密顿力学的很多关系简化成上述关系，p为动量，q为势能。庞加莱认为，哈量中第一项属于可以积分的部分，而后一项为在相互作用下的不可积分部分。由此他提出了庞加莱共振系统（对于轨道层面就是能量以频率的形式扩散出去，而统计层面的不确定性则是相互作用所导致的）。通俗一点拿衰老举例就是：组成我们身体的原子是不朽的，变化只存在于原子、分子之间的相互作用——衰老是群体特性，并不是个体行为。这里我在补充一个庞加莱复现：一个孤立的力学系统经过足够长的时间后，总是可以恢复到初始状态附近。但是这个理论有个很大的问题，大佬们可以稍微记一下，我后面会接着讲。对于q与p来说，此处我们将物理量进行算符化，这俩算符并不是对易的，即：不具有相同的本征值与公共本征函数。看出来了吗？这俩关系能推出什么。能推出海森堡的不确定性原理：不能同时确定坐标与动量有明确的值，终于要开始自洽了。六、经典力学和量子力学该怎么解释其实这个问题，现在已经迎刃而解了，或者说，从《信条》的角度来说，这个问题已经有了一个答案。我们对于一个系统，无论是不是非定域的，我们都可以将其分层两个半群，在一系列过程之后，一边呈e^(-t/τ)衰减；另一边呈e^(t/τ)衰减，放弃希尔伯特空间描述，将过去与未来用时间之矢相连，即状态可以有无限多种，不论是理想（牛顿力学、量子力学）的或是非定域的（混沌的、不可积的），每种状态都是一个概率，要到达这样一个状态，就让时间去选择，去累积。上一段留下的庞加莱复现中要达到初始状态附近，其概率非常小，也即时间会无限长，道理类似。（又想起了股票的维纳项）不过有个问题是，每次我们选择之后，指向的必定是未来，因为过去会发散。所以虽然区分了两个半群，但是实际上我们最终留下的只是概率较大的时间较短或是较为容易达到的某一种未来，而过去，则是永远不能回去的土地。现在我知道索尔维会议上爱因斯坦和玻尔争执的具体指向了。这本书的最后其实远没有结束，普利高津在末尾根据量子力学的基本表述得到了三个结论（具体的物理概念大佬们可以下去自己查）：第一是刘维尔算符的本征值不再是从薛定谔方程得到的哈密顿量的本征值之差。所以，里兹-里德伯定则要被违背。因为不再可积；第二是与薛定谔方程的线性相联系的量子叠加原理被违背；第三是刘维尔算符的本征函数不用概率幅或者波函数而用概率本身来表达。而他也提出了自己最疯狂的猜想：轨道不是首要的对象而是平面波叠加的结果。庞加莱共振破坏了这种叠加的相干性，产生了不可约的统计描述。想起了那句传世恒言“上帝的确是在掷骰子，但是骰子是灌满了铅的”长恨离亭花嫁

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